Question

【題目】如圖

（1）問題：如圖①，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，∠DPC=∠A=∠B=90°．
求證：ADBC=APBP．
（2）探究：如圖②，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當∠DPC=∠A=∠B=θ，上述結論是否依然成立？說明理由．
（3）應用：請利用（1）（2）獲得的經驗解決問題：
如圖③，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，點P以每秒1個單位長度的速度，由點A出發，沿邊AB向點B運動，且滿足∠DPC=∠A，設點P的運動時間為t秒，當以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切時，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠DPA+∠CPB=90°，∠DPA+∠ADP=90°，
∴∠PDA=∠CPB，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△ADP∽△BPC，

∴ =，

∴AD·BC=AP·BP.

（2）解：結論：ADBC=APBP仍然成立，
理由：∵∠ADP+∠APD=180°﹣θ，∠DPA+∠CPB=180°﹣θ，
∴∠ADP=∠CPB，
又∵∠A=∠B=θ，
∴△ADP∽△BPC，

∴ = ，

∴AD·BC=AP·BP.

（3）解：作DE⊥AB，當⊙D與AB相切時，半徑r=DE=DC，

∴DE==4，

∴DC=4，
∴BC=1，
依據（1）（2）的結論AD·BC=AP·BP，
∴5×1=t（6﹣t），
∴t2﹣6t+5=0，
解得：t1=1，t2=5，
∴點P運動時間為1s或5s．

【解析】（1）由同角的余角相等得∠PDA=∠CPB，根據相似三角形的判定得△ADP∽△BPC，再由相似三角形的性質得出= ，即AD·BC=AP·BP.
（2）結論：AD·BC=AP·BP仍然成立；理由：由等量代換得∠ADP=∠CPB，根據相似三角形的判定得△ADP∽△BPC，再由相似三角形的性質得出= ，即AD·BC=AP·BP.
（3）作DE⊥AB，當⊙D與AB相切時，半徑r=DE=DC，由勾股定理得DE=DC=4，依據（1）（2）的結論AD·BC=AP·BP，即t2﹣6t+5=0，解之即可得出答案.