Question

【題目】閱讀下面材料：小科遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC是等邊三角形，點P是三角形內部一點，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度數．

小科是這樣思考的：如圖2，將AP繞著點A逆時針旋轉60°得到AP′，連接P′C，P′P，可以根據邊角邊證明△APB≌△AP′C，進而通過判定得到兩個特殊的三角形，解決問題．

（1）小科遇到的問題中，∠APB的度數是 ；（請直接寫出答案）

參考小科同學的思路，解決下列問題：

（2）如圖3，在正方形ABCD內有一點P，且PA＝2，PB＝2，PD＝2，

①求∠APB的度數；②求正方形的邊長

Answer 1

【答案】（1）150°；（2）①135°；②.

【解析】

（1）把△APB繞點A逆時針旋轉60°得到△ACP′，由旋轉的性質可得P′A=PA，P′C=PB，∠PAP′=60°，證出△APP′是等邊三角形，由等邊三角形的性質求出PP′=PA=3，∠AP′P=60°，再由勾股定理逆定理求出∠PP′C=90°，求出∠AP′C，即為∠APB的度數；

（2）①把△APB繞點A逆時針旋轉90°得到△ADP′，由旋轉的性質可得P′A=PA，P′D=PB，∠PAP′=90°，證出△APP′是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質求出PP′，∠AP′P=45°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′D=90°，然后求出∠AP′D，即為∠APB的度數；

②求出點P′、P、B三點共線，過點A作AE⊥PP′于E，根據等腰直角三角形的性質求出AE=PE=PP′，然后求出BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AB即可．

解：（1）如圖2，把△APB繞點A逆時針旋轉60°得到△ACP′，

由旋轉的性質，P′A=PA=3，P′D=PB=4，∠PAP′=60°，∠APB=∠AP′C，

∴△APP′是等邊三角形，

∴PP′=PA=3，∠AP′P=60°，

∵PP′2+P′C2=32+42=25，PC2=52=25，

∴PP′2+P′C2=PC2，

∴∠PP′C=90°，

∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；

故∠APB=∠AP′C=150°；

故答案為：150°．

（2）①如圖3，把△APB繞點A逆時針旋轉90°得到△ADP′，

由旋轉的性質，P′A=PA=2，P′D=PB=2，∠PAP′=90°，

∴△APP′是等腰直角三角形，

∴PP′=PA=4，∠AP′P=45°，

∵PP′2+P′D2=42+22=20，PD2=，

∴PP′2+P′D2=PD2，

∴∠PP′D=90°，

∴∠AP′D=∠AP′P+∠PP′D=45°+90°=135°，

故∠APB=∠AP′D=135°，

②∵∠APB+∠APP′=135°+45°=180°，

∴點P′、P、B三點共線，

過點A作AE⊥PP′于E，

則AE=PE=PP′=×4=2，

∴BE=PE+PB=2+2=4，

在Rt△ABE中，AB=

∴正方形的邊長為.