Question

【題目】如圖，以O為原點的直角坐標系中，A點的坐標為（0，1），直線x=1交x軸于點B．點為線段AB上一動點，作直線PC⊥PO，交直線x=1于點C．過P點作直線MN平行于x軸，交y軸于點M，交直線x=1于點N．記AP=x，△PBC的面積為S．

（1）當點C在第一象限時，求證：△OPM≌△PCN；

（2）當點P在線段AB上移動時，點C也隨之在直線x=1上移動，求出S與x之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）當點P在線段AB上移動時，△PBC是否可能成為等腰三角形？如果可能，直接寫出所有能使△PBC成為等腰三角形的x的值；如果不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）S=x2﹣x+（＜x＜）．（3）點P的坐標為（0，1）或（，1﹣）．

【解析】

試題分析：（1）根據∠OPC=90°和同角的余角相等，我們可得出△OPM和△PCN中兩組對應角相等，要證兩三角形全等，必須有相等的邊參與，已知了OA=OB，因此三角形OAB是等腰直角三角形，那么△AMP也是個等腰三角形，AM=MP，OA=OB=MN，由此我們可得出OM=PN，由此我們可得出兩三角形全等．

（2）分兩種情況進行討論：①點C在第一象限時，②點C在第四象限時．分別利用S=S△PBC=BCPN求解即可．

（3）要分兩種情況進行討論：①當C在第一象限時，要想使PCB為等腰三角形，那么PC=CB，∠PBC=45°，因此此時P與A重合，那么P的坐標就是A的坐標．②當C在第四象限時，要想使PCB為等腰三角形，那么PB=BC，在等腰RT△PBN中，我們可以用x表示出BP的長，也就表示出了BC的長，然后根據（1）中的全等三角形，可得出MP=NC，那么可用這兩個含未知數x的式子得出關于x的方程來求出x的值．那么也就求出了PM、OM的長，也就得出了P點的坐標．

證明：（1）如圖，

∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=90°

∴四邊形OBNM為矩形

∴MN=OB=1，∠PMO=∠CNP=90°

∵OA=OB，

∴∠1=∠3=45°

∵MN∥OB

∴∠2=∠3=45°

∴∠1=∠2=45°，

∴AM=PM

∴OM=OA﹣AM=1﹣AM，PN=MN﹣PM=1﹣PM

∴OM=PN

∵∠OPC=90°，

∴∠4+∠5=90°，

又∵∠4+∠6=90°，

∴∠5=∠6

∴△OPM≌△PCN

（2）解：①點C在第一象限時，

∵AM=PM=APsin45°=x

∴OM=PN=1﹣x，

∵△OPM≌△PCN

∴CN=PM=x，

∴BC=OM﹣CN=1﹣x﹣x=1﹣x，

∴S=S△PBC=BCPN=×（1﹣x）（1﹣x）=x2﹣x+（0≤x＜）．

②如圖1，點C在第四象限時，

∵AM=PM=APsin45°=x

∴OM=PN=1﹣x，

∵△OPM≌△PCN

∴CN=PM=x，

∴BC=CN﹣OM=x﹣（1﹣x）=x﹣1，

∴S=S△PBC=BCPN=×（1﹣x）（x﹣1）=x2﹣x+（＜x＜）．

（3）解：△PBC可能成為等腰三角形

①當P與A重合時，PC=BC=1，此時P（0，1）

②如圖，當點C在第四象限，且PB=CB時

有BN=PN=1﹣x

∴BC=PB=PN=﹣x

∴NC=BN+BC=1﹣x+﹣x

由（2）知：NC=PM=x

∴1﹣x+﹣x=x

整理得（+1）x=+1

∴x=1

∴PM=x=，BN=1﹣x=1﹣，

∴P（，1﹣）

由題意可知PC=PB不成立

∴使△PBC為等腰三角形的點P的坐標為（0，1）或（，1﹣）．