Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=2x+4與y軸交于A點，與x軸交于B點，拋物線C1：y=﹣ x2+bx+c過A、B兩點，與x軸另一交點為C．

（1）求拋物線解析式及C點坐標．
（2）向右平移拋物線C1 ， 使平移后的拋物線C2恰好經過△ABC的外心，拋物線C1、C2相交于點D，求四邊形AOCD的面積．
（3）已知拋物線C2的頂點為M，設P為拋物線C1對稱軸上一點，Q為拋物線C1上一點，是否存在以點M、Q、P、B為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出P點坐標；不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直線y=2x+4與y軸交于A點，與x軸交于B點，

∴令x=0，可得y=4，則點A的坐標為A（0，4），

令y=0，可得x=﹣2，則點B的坐標為（﹣2，0），

將A（0，4），B（﹣2，0）代入y=﹣ x2+bx+c，

可得 ，

解得 ，

∴拋物線C1的解析式為：y=﹣ x2+ x+4，

令y=0，則﹣ x2+ x+4=0，

解得x=8，

∴C點坐標為C（8，0）；

（2）解：如圖1，

連接AC，

由（1）知，C（8，0），A（0，4），B（﹣2，0），

∴AC2=AO2+OC2=80，AB2=AO2+OB2=20，BC2=102=100，

∴BC2=AC2+AB2，

∴△ABC是直角三角形．

設△ABC的斜邊BC的中點為E，則CE= ×（8+2）=5，

∴OE=CO﹣CE=3

∴△ABC的斜邊BC的中點E的坐標為（3，0），

∵拋物線C2恰好經過△ABC的外心，E為△ABC的外心，

∴OF=3+10=13，即F（13，0），

由E（3，0），F（13，0），得拋物線C2：y=﹣ （x﹣3）（x﹣13）=﹣ x2+4x﹣ ，

聯立方程組 ，

解得 ，即D（ ， ），

如圖2，

連接AD，OD，CD，則

S四邊形AOCD=S△AOD+S△OCD= ×4× + ×8× = ，

∴四邊形AOCD的面積為 ；

（3）解：存在．點P的坐標為（3，0）或（3，﹣ ）或（3，﹣25）．

分3種情況：

①如圖，當四邊形BPMQ為平行四邊形時，BP∥QM，BP=QM，

∵拋物線C1中，Q（3， ），拋物線C2中，M（8， ）

∴由平移方向可得QM∥x軸，QM=5=BE，

∴BP與x軸重合，

∴點P與點E重合，即P（3，0）；

②如圖，當四邊形BQPM為平行四邊形時，PQ∥MB，

∵根據點M與點P的位置可知，點M與點P的水平距離為8﹣3=5，

∴點Q與點B的水平距離為5，即點Q的橫坐標為﹣7，

在拋物線C1中，當x=﹣7時，y=﹣ ，即Q（﹣7，﹣ ），

∵根據點M與點B的位置可知，點M與點B的鉛垂距離為 ，

∴點Q與點P的鉛垂距離為 ，即點P離y軸的距離為 ﹣ = ，

∴P（3，﹣ ）；

③如圖，當四邊形PQMB為平行四邊形時，PQ∥BM，

∵根據點B與點P的位置可知，點B與點P的水平距離為3﹣（﹣2）=5，

∴點Q與點M的水平距離為5，即點Q的橫坐標為8+5=13，

在拋物線C1中，當x=13時，y=﹣ ，即Q（13，﹣ ），

∵根據點M與點Q的位置可知，點M與點Q的鉛垂距離為 ﹣（﹣ ）=25，

∴點B與點P的鉛垂距離為25，即點P離y軸的距離為25，

∴P（3，﹣25）．

【解析】本題主要考查了二次函數的綜合運用，綜合性較強，需要綜合運用待定系數法求函數解析式，平行四邊形的判定和性質，直角三角形的判定和性質等知識．在解題時要利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，要注意分類討論思想的應用．（1）先根據直線y=2x+4，求得點A和點B的坐標，再根據拋物線C1過A、B兩點，運用待定系數法即可求得拋物線解析式，最后令y=0，求得C點坐標；（2）先證明△ABC是直角三角形，求得△ABC的斜邊BC的中點E的坐標，再結合F點坐標求得拋物線C2的解析式，再聯立方程組并解出交點D的坐標，最后根據S四邊形AOCD=S△AOD+S△OCD ， 即可得出四邊形AOCD的面積；（3）根據以點M、Q、P、B為頂點的四邊形為平行四邊形，分情況討論可能的情形，根據平行四邊形頂點的位置即可得出P點坐標．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質和平移的性質的相關知識點，需要掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；①經過平移之后的圖形與原來的圖形的對應線段平行（或在同一直線上）且相等，對應角相等，圖形的形狀與大小都沒有發生變化；②經過平移后，對應點所連的線段平行（或在同一直線上）且相等才能正確解答此題．