Question

【題目】如圖，將邊長為1的正方形紙片ABCD折疊，使點B的對應點M落在邊CD上（不與點C、D重合），折痕為EF，AB的對應線段MG交AD于點N．以下結論正確的有（　�。�①∠MBN＝45°；②△MDN的周長是定值；③△MDN的面積是定值．

A.①②B.①③C.②③D.①②③

Answer 1

【答案】A

【解析】

連接BM、BN，作BP⊥MN于P．只要證明△BMP≌△BMC，可得MP＝MC，∠PBM＝∠CBM，同理可證：NA＝NP，∠ABN＝∠PBN，由此可判斷①②正確．

連接BG、BE，作BP⊥EF于P，如圖所示：

由折疊性質可得：BF＝FM，

∴∠MBF＝∠FMB，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠C＝∠ABC＝∠NMF＝90°，

∴∠CBM+∠BMC＝90°，∠BMF+∠NMB＝90°，

∴∠BMC＝∠NMB，

又∵BP⊥MN，BC⊥DC，

∴BP＝BC，且∠BMC＝∠NMB，BM＝BM

∴△BPM≌△BCM（SAS），

∴MP＝MC，∠PBM＝∠CBM，

同理可證：NA＝NP，∠ABN＝∠PBN，

∴△MND的周長＝DN+DM+MN＝DN+AN+DM+CM＝AD+CD＝2，

∴△DGE的周長始終為定值．

∵∠ABN+∠PBN+∠PBM+∠CBM＝90°

∴∠MBN＝45°；

∵DM，DN的值不確定，

∴△MDN的面積不確定，

∴③錯誤．

故①②正確

故選：A．