Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，CAB=60°，點O為斜邊AB上一點，且OA=2，以OA為半徑的⊙O與BC相切于D，與AC交于點E，連接AD．

（1）求線段CD的長；

（2）求⊙O與Rt△ABC重疊部分的面積．（結果保留準確值）

Answer 1

【答案】（1）CD=；（2）．

【解析】

（1）連接OD，由切線的性質和直角三角形的性質得出OB＝2OD＝4，BD＝OD＝2，得出AB＝OA+OB＝6，AC＝AB＝3，BC＝AC＝3，即可得出結果；

（2）連接OE，證出△OAE是等邊三角形，得出∠AOE＝60°，∠EOG＝120°，作EF⊥OA于F，則OF＝1，EF＝OF＝，⊙O與Rt△ABC重疊部分的面積＝△AOE的面積+扇形OEDG的面積，即可得出結果，

（1）連接OD，如圖1所示：

∵以OA為半徑的⊙O與BC相切于D，

∴∠ODB=90°．

∵OD=OA=2，∠C=90°，∠CAB=60°，

∴∠B=30°，

∴OB=2OD=4，BD=OD=2，

∴AB=OA+OB=6，

∴AC=AB=3，

∴BC=AC=3，

∴CD=BC﹣BD=；

（2）連接OE，如圖2所示：

則OA=OE．

∵∠CAB=60°，

∴△OAE是等邊三角形，

∴∠AOE=60°，

∴∠EOG=120°，

作EF⊥OA于F，

則OF=1，EF=OF=，

∴⊙O與Rt△ABC重疊部分的面積=△AOE的面積+扇形OEDG的面積=×2×+=+．