Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=﹣x2﹣x+c與x軸相交于A、B兩點（B點在A點的左側），與y軸相交于C點，且AB=10．

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）如圖2，D點在x軸上，且在A點的右側，E點為拋物線上第二象限內的點，連接ED交拋物線于第二象限內的另外一點F，點E到y軸的距離與點F到y軸的距離之比為3：1，已知tan∠BDE=，求點E的坐標；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點G由B出發，沿x軸負方向運動，連接EG，點H在線段EG上，連接DH，∠EDH=∠EGB，過點E作EK⊥DH，與拋物線相應點E，若EK=EG，求點K的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）E（﹣3，8）；（3）K(-11，-8).

【解析】試題分析：（1）先根據函數關系式求出對稱軸，由AB=10，，求出點的坐標，代入函數關系式求出的值，即可解答；
（2）作EM⊥x軸，垂足為點M，FN⊥x軸，垂足為點N，FT⊥EM，垂足為點T.得到四邊形FTMN為矩形，由, ,得到∠BDE=∠EFT，所以設設 得到 再由解得 代入函數關系式即可解答；
（3）作EM⊥x軸，垂足為點M，過點K作KR⊥ED，與ED相交于點R，與x軸相交于點Q.再證明∴△EGM≌△EKR，求出 直線RQ的解析式為： 設點K的坐標為代入拋物線解析式可得x=11,，即可解答．

試題解析：(1)由

可得對稱軸為x=4

∵AB=10，

∴點A的坐標為(1,0)，

∴c=3

∴拋物線的解析式為

(2)如圖2，作EM⊥x軸，垂足為點M，FN⊥x軸，垂足為點N，FT⊥EM，垂足為點T.

∴四邊形FTMN為矩形，

∴, ,

∴∠BDE=∠EFT，

設

∵過點E.F，

則

解得m=0(舍去)或m=1，

當m=1時，3m=3，

∴E(3,8).

(3)如圖3，作EM⊥x軸，垂足為點M，過點K作KR⊥ED，與ED相交于點R，與x軸相交于點Q.

∴∠KER=∠GEM，

在△EGM和△EKR中，

∴△EGM≌△EKR，

∴EM=ER=8，

∴ED=10，

∴DR=2，

可求

∴直線RQ的解析式為： 設點K的坐標為，代入拋物線解析式可得x=11,

∴K(11,8).