Question

若n為正整數，觀察下列各式：
①

1

1×3

=

1

2

(1-

1

3

)；②

1

3×5

=

1

2

(

1

3

-

1

5

)；③

1

5×7

=

1

2

(

1

5

-

1

7

)…
根據觀察計算并填空：
（1）

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

=

3

7

（2）

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

n

2n+1

．

Answer 1

分析：根據題意可知：

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），據此展開，再正負抵消可求值．

解答：解：（1）

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

）=

1

2

×

6

7

=

3

7

；
（2）原式=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

×

2n+1-1

2n+1

=

n

2n+1

．
故答案是

3

7

；

n

2n+1

．

點評：本題考查了分式的加減法，解題的關鍵是找出運算規律，即

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）．