Question

如果四邊形一條對角線所在直線上有一點，它到這條對角線的兩端點的距離不相等，但到另一對角線的兩個端點的距離相等，則稱這個點為這個四邊形的準等距點．
（1）正方形ABCD的對角線AC上有沒有準等距點？請簡單說明理由；
（2）請回答長方形（正方形除外）、菱形、等腰梯形的準等距點的個數（不必證明）；
（3）如圖所示，在四邊形ABCD中，P是AC上的點，PA≠PC，延長BP交CD于點E，延長DP交BC于點F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF，證明點P是四邊形ABCD的準等距點．

Answer 1

分析：（1）如圖1，在對角線AC上任取一點P，連接PB，PD，根據正方形的性質就可以得出PD=PB，就可以得出結論；
（2）由矩形的對角線互相平分但不垂直，就可以得出矩形的準等距點的個數為0，菱形的對角線互相垂直平分，可以得出菱形的準等距點的個數是無數個，等腰梯形不垂直又不互相平分，且任何一條對角線的中垂線都不經過另一條對角線的中點，可以得出等腰梯形的準等距點的個數為2個；
（3）根據條件可以得出△CDF≌△CBE就可以得出BC=DC，進而可以得出BF=DE，再證明△EDP≌△FBP就可以得出PD=PB就可以得出結論．

解答：解：（1）如圖1，在對角線AC上任取一點P，連接PB，PD．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，AC平分BD，
∴PD=PB．
∴點P是對角線AC上的準等距點；

（2）根據確定準等距點的方法：可以作出其中一條對角線的垂直平分線和另一條對角線所在的直線的交點．主要是根據兩條對角線的位置關系決定．
∵矩形的對角線互相平分但不垂直，
∴矩形的準等距點的個數為0，
∵菱形的對角線互相垂直平分，
∴菱形的準等距點的個數是無數個，
∵等腰梯形不垂直又不互相平分，且任何一條對角線的中垂線都不經過另一條對角線的中點，
∴等腰梯形的準等距點的個數為2個；

（3）在△CDF和△CBE中，

∠BCD=∠BCD ∠CDF=∠CBE CF=CE

，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴CD=CB．
∵CE=CF，
∴ED=BF．
在△EDP和△FBP中，

∠CDF=∠CBE ∠DPE=∠BPF ED=FB

，
∴△EDP≌△FBP（AAS），
∴PD=PB．
∴點P是四邊形ABCD的準等距點．

點評：本考查了菱形的性質、全等三角形的判定與性質、線段垂直平分線的性質等知識．此題屬于閱讀性題目，解題的關鍵是熟悉垂直平分線的性質，能夠根據找準等距點的方和四邊形中兩條對角線的位置關系判斷準等距點的個數及證明一個點是四邊形的準等距點．