Question

【題目】已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足為H，連接BC，過點D作DE⊥BC于點E，DE交AC于點F．

（1）如圖1，求證：BD平分∠ADF；

（2）如圖2，連接OC，若AC＝BC，求證：OC平分∠ACB；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AB，過點D作DN∥AC交⊙O于點N，若AB＝3，DN＝9．求sin∠ADB的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）sin∠ADB的值為．

【解析】

(1)根據等角的余角相等即可證明；

(2)連接OA、OB．只要證明△OCB≌△OCA即可解決問題；

(3)如圖3中，連接BN，過點O作OP⊥BD于點P，過點O作OQ⊥AC于點Q，則四邊形OPHQ是矩形，可知BN是直徑，則HQ=OP=DN=，設AH=x，則AQ=x+，AC=2AQ=2x+9，BC=2x+9，CH=AC﹣AH=2x+9﹣x=x+9，在Rt△AHB中，BH2=AB2﹣AH2=()2﹣x2．在Rt△BCH中，BC2=BH2+CH2即(2x+9)2=()2﹣x2+(x+9)2，解得 x=3，BC=2x+9=15，CH=x+9=12求出sinBCH，即為sin∠ADB的值．

(1)證明：如圖1，

∵AC⊥BD，DE⊥BC，

∴∠AHD=∠BED=90°，

∴∠DAH+∠ADH=90°，∠DBE+∠BDE=90°，

∵∠DAC=∠DBC，

∴∠ADH=∠BDE，

∴BD平分∠ADF；

(2)證明：連接OA、OB．

∵OB=OC=OA，AC=BC，

∴△OCB≌△OCA(SSS)，

∴∠OCB=∠OCA，

∴OC平分∠ACB；

(3)如圖3中，連接BN，過點O作OP⊥BD于點P，過點O作OQ⊥AC于點Q．

則四邊形OPHQ是矩形，

∵DN∥AC，

∴∠BDN=∠BHC=90°，

∴BN是直徑，

則OP=DN=，

∴HQ=OP=，

設AH=x，則AQ=x+，AC=2AQ=2x+9，BC=AC=2x+9，

∴CH=AC﹣AH=2x+9﹣x=x+9

在Rt△AHB中，BH2=AB2﹣AH2=()2﹣x2．

在Rt△BCH中，BC2=BH2+CH2，

即(2x+9)2=()2﹣x2+(x+9)2，

整理得2x2+9x﹣45=0，

(x﹣3)(2x+15)=0，

解得： x=3(負值舍去)，

BC=2x+9=15，CH=x+9=12

∵∠ADB=∠BCH，

∴sin∠ADB=sin∠BCH===．

即sin∠ADB的值為．