Question

如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90度．
（1）操作并觀察，如圖，將三角板的45°角的頂點與點C重合，使這個角落在∠ACB的內部，兩邊分別與斜邊AB交于E、F兩點，然后將這個角繞著點C在∠ACB的內部旋轉，觀察在點E、F的位置發生變化時，AE、EF、FB中最長線段是否始終是EF？寫出觀察結果．
（2）探索：AE、EF、FB這三條線段能否組成以EF為斜邊的直角三角形？如果能，試加以證明．

Answer 1

解：（1）觀察結果是：當45°角的頂點與點C重合，并將這個角繞著點C在重合，并將這個角繞著點C在∠ACB內部旋轉時，AE、EF、FB中最長線段始終是EF．

（2）AE、EF、FB這三條線段能組成以EF為斜邊的直角三角形．
證明如下：
在∠ECF的內部作∠ECG=∠ACE，使CG=CA，連接EG、FG
又∵CE=CE
則△ACE≌△GCE（SAS），
∴∠1=∠A
同理：△CGF≌△CBF，∴∠2=∠B
∵∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°
∴∠1+∠2=90°
∴∠EGF=90°
∴AE、EF、FB這三條線段能組成以EF為斜邊的直角三角形．
分析：（1）在E點，F點的位置發生變化時，AE，EF，FB中最長線斷始終是EF；
（2）如圖，在∠ECF的內部作∠ECG=∠ACE，使CG=CA，連接EG、FG，構建全等三角形△ACE≌△GCE；然后利用該全等三角形的對應角相等證得∠1=∠A．同理：△CGF≌△CBF，∠2=∠B；最后根據直角三角形的性質和等量代換即可證得“AE、EF、FB這三條線段能組成以EF為斜邊的直角三角形”．
點評：此題是開放性試題，利用等腰直角三角形的性質來探究圖形變換的規律，最后利用旋轉法證明探究的規律．