Question

如圖，已知△ABC是等邊三角形，E是AC延長線上一點，選擇一點D，使得△CDE是等邊三角形，如果M是線段AD的中點，N是線段BE的中點，
求證：△CMN是等邊三角形．

Answer 1

分析：根據△ACD≌△BCE，得出AD=BE，AM=BN；又△AMC≌△BNC，可得CM=CN，∠ACM=∠BCN，證明∠NCM=∠ACB=60°即可證明△CMN是等邊三角形；

解答：證明：∵△ABC是等邊三角形，△CDE是等邊三角形，M是線段AD的中點，N是線段BE的中點，
∴∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，AM=BN；
∴AC=BC，∠CAD=∠CBE，AM=BN，
∴△AMC≌△BNC（SAS），
∴CM=CN，∠ACM=∠BCN；
又∵∠NCM=∠BCN-∠BCM，
∠ACB=∠ACM-∠BCM，
∴∠NCM=∠ACB=60°，
∴△CMN是等邊三角形．

點評：本題考查了等邊三角形的判定與性質及全等三角形的判定與性質，難度一般，熟練掌握等邊三角形的性質是解答的關鍵．