Question

【題目】通過類比聯想，引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的，下面是一個案例，請補充完整．

原題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連結EF，試猜想EF、BE、DF之間的數量關系．
（1）思路梳理
把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，由∠ADG=∠B=90°，得∠FDG=180°，即點F、D、G共線，易證△AFG≌ ， 故EF、BE、DF之間的數量關系
為 ．
（2）類比引申
如圖2，點E、F分別在正方形ABCD的邊CB、DC的延長線上，∠EAF=45°，連結EF，試猜想EF、BE、DF之間的數量關系為 ， 并給出證明．
（3）聯想拓展
如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E均在邊BC上，且∠BAD+∠EAC=45°，若BD=3，EC=6，求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）△AFE；EF=DF+BE
（2）EF=DF﹣BE
（3）

解：聯想拓展：

如圖3，把△ABD繞點A逆時針旋轉90°至△ACG，可使AB與AC重合，連接EG，

由旋轉得：AD=AG，∠BAD=∠CAG，BD=CG，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠ACB=45°，

∴∠ACG=∠B=45°，

∴∠BCG=∠ACB+∠ACG=45°+45°=90°，

∵EC=6，CG=BD=3，

由勾股定理得：EG= = =3 ，

∵∠BAD=∠CAG，∠BAC=90°，

∴∠DAG=90°，

∵∠BAD+∠EAC=45°，

∴∠CAG+∠EAC=45°=∠EAG，

∴∠DAE=45°，

∴∠DAE=∠EAG=45°，

∵AE=AE，

∴△AED≌△AEG，

∴DE=EG=3 ．

【解析】解：（1.）思路梳理：
如圖1，把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，即AB=AD，
由旋轉得：∠ADG=∠A=90°，BE=DG，∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∴∠FDG=∠ADF+∠ADG=90°+90°=180°，
即點F、D、G共線，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAD=90°﹣45°=45°，
∴∠FAD+∠DAG=∠FAG=45°，
∴∠EAF=∠FAG=45°，
在△AFE和△AFG中，
∵ ，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
∴EF=DF+DG=DF+AE；
所以答案是：△AFE，EF=DF+AE；
（2.）類比引申：
如圖2，EF=DF﹣BE，理由是：
把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，則G在DC上，
由旋轉得：BE=DG，∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠BAG=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠FAG=90°﹣45°=45°，
∴∠EAF=∠FAG=45°，
在△EAF和△GAF中，
∵ ，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=FG，
∴EF=DF﹣DG=DF﹣BE；

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解全等三角形的性質的相關知識，掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等．