Question

【題目】已知A(α，0)、B(b，0)，點C在y軸上，且由|a＋4|＋(b－2)2＝0．

(1)若S△ABC＝6，求C點的坐標；

(2)將C向右平移，使OC平分∠ACB，點P是x軸上B點右邊的一動點，PQ⊥OC于Q點．當∠ABC－∠BAC＝60°時，求∠APQ的度數；

(3)在(2)的條件下，將線段AC平移，使其經過P點得線段EF，作∠APE的角平分線交OC的延長線于點M．當P點在x軸上運動時，求∠M－∠ABC的值．

Answer 1

【答案】(1) C(0，2)或（0，-2）;(2)∠APQ＝30°;(3)∠M－∠ABC＝0.

【解析】

（1）根據已知條件求出點A,B的坐標，結合三角形的面積公式求出點C的縱坐標，即可求出點C的坐標.

（2）根據∠COB為AOC的外角可得∠COB＝∠BAC＋∠ACB，后根據三角形內角和定理可用∠ABC和∠ACB表示∠COB，結合兩式及∠ABC－∠BAC＝60°即可求解.

（3）根據三角形內角和定理結合題（1）可得∠M＋∠MPO＝120°，后根據EF∥AC，∠BAC＝∠APF以及PM平分∠OPE可得∠MPO＝90°－∠BAC，再根據已知條件∠ABC－∠BAC＝60°，結合三式即可求得∠M－∠ABC的值.

解：(1) 由已知條件 |a＋4|＋(b－2)2＝0

可求得a=-4,b=2,即A(-4，0)、B(2，0)

S△ABC＝（|a|+b）c=6

可求得c=2

即點C坐標為(0，2)或（0，-2）.

(2) ∵∠COB＝∠BAC＋∠ACB；

又∵∠COB＝180°－∠ABC－∠ACB

∴2∠COB＝180°＋∠BAC－∠ABC，∠ABC－∠BAC＝60°

∴∠COB＝60°，∴∠APQ＝30°

(3) 在△OMP中，∠M＋∠MOP＋∠MPO＝180°，∠M＋∠MPO＝120°

∵EF∥AC，∴∠BAC＝∠APF，

∴∠MPO＝(180°-∠APF )=90°－∠BAC，∠BAC＝∠ABC－60°

∴∠MPO＝120°－∠ABC

∴∠M＋120°－∠ABC＝120°，∴∠M－∠ABC＝0