Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A(，3)在反比例函數C：y=(x>0)上，點P是反比例函數C：y=(x>0)上-動點，連接AP，點M在x軸上，且滿足MP⊥AP，垂足為P．

(1)求反比例函數的解析式；

(2)若點P(2，n)，求PM所在直線的解析式；

(3)PB⊥x軸，B為垂足，CA⊥y軸，BP的延長線交AC于點C，當△AMP與△APC相似時，請寫出∠AMP與∠BMP的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）y=x﹣；（3）∠AMP=∠BMP或∠AMP+∠BMP=90°，理由見解析．

【解析】

（1）k=×3=2，故反比例函數的解析式為：y=；

（2）先求出點P的坐標，然后得到點C的坐標，再證明△APC∽△PMB，得到點M的坐標，根據待定系數法，即可求出直線的解析式.

（3）根據相似三角形的性質，分成兩種情況進行討論，即可得到答案.

解：（1）∵k=×3=2，

∴反比例函數的解析式為：y=；

(2)∵P（2，n）在反比例函數C：y=(x>0)的圖象上，

∴n=1，

∴P(2，1)．

∵PB⊥x軸，MP⊥AP，CA⊥y軸，

∴C(2，3)，∠C=∠APM=∠MBP=90°，

∴∠APC＋∠MPB=90°，∠PMB＋∠MPB=90°

∴∠APC=∠PMB，

∴△APC∽△PMB

∴=，

∴MB=，M(，0)

設PM所在直線的解析式為：y=kx十b，

將P(2，1)，M(，0)代入得，

，

解得：，

∴y=x﹣；

(3)當△AMP與△APC相似時，又∵△APC∽△PMB，

∴△АМР與△PMB相似，

∴∠AMP=∠BMP或∠AMP=∠PBM，

∴∠AMP=∠BMP或∠AMP+∠BMP=90°．