Question

已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=-

3

4

x+6與x軸、y軸的交點分別為A、B，將∠OBA對折，使點O的對應點H落在直線AB上，折痕交x軸于點C．
（1）直接寫出點C的坐標，并求過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點為D，在直線BC上是否存在點P，使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；
（3）設拋物線的對稱軸與直線BC的交點為T，Q為線段BT上一點，直接寫出|QA-QO|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）點A的坐標是縱坐標為0，得橫坐標為8，所以點A的坐標為（8，0）；
點B的坐標是橫坐標為0，解得縱坐標為6，所以點B的坐標為（0，6）；
由題意得：BC是∠ABO的角平分線，所以OC=CH，BH=OB=6
∵AB=10，∴AH=4，
設OC=x，則AC=8-x
由勾股定理得：x=3
∴點C的坐標為（3，0）
將此三點代入二次函數一般式，列的方程組即可求得；
（2）求得直線BC的解析式，根據平行四邊形的性質，對角相等，對邊平行且相等，借助于三角函數即可求得；
（3）如圖，由對稱性可知QO=QH，|QA-QO|=|QA-QH|．
當點Q與點B重合時，Q、H、A三點共線，
|QA-QO|取得最大值4（即為AH的長）；
設線段OA的垂直平分線與直線BC的交點為K，
當點Q與點K重合時，|QA-QO|取得最小值0．

解答：解：（1）點C的坐標為（3，0）．（1分）
∵點A、B的坐標分別為A（8，0），B（0，6），
∴可設過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=a（x-3）（x-8）．
將x=0，y=6代入拋物線的解析式，
得a=

1

4

．（2分）
∴過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=

1

4

x2-

11

4

x+6．（3分）

（2）可得拋物線的對稱軸為直線x=

11

2

，頂點D的坐標為(

11

2

，-

25

16

)，
設拋物線的對稱軸與x軸的交點為G．
直線BC的解析式為y=-2x+6.4分）
設點P的坐標為（x，-2x+6）．
解法一：如圖，作OP∥AD交直線BC于點P，
連接AP，作PM⊥x軸于點M．
∵OP∥AD，
∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．
∴

PM

OM

=

DG

GA

，
即

-2x+6

x

=

25 16

8- 11 2

．
解得x=

16

7

．
經檢驗x=

16

7

是原方程的解．
此時點P的坐標為(

16

7

，

10

7

)．（5分）
但此時OM=

16

7

，GA=

5

2

，OM＜GA．
∵OP=

OM

cos∠POM

，AD=

GA

cos∠GAD

，∠POM=∠GAD，
∴OP＜AD，即四邊形的對邊OP與AD平行但不相等，
∴直線BC上不存在符合條件的點P（6分）

解法二：如圖，取OA的中點E，
作點D關于點E的對稱點P，作PN⊥x軸于
點N．則∠PEO=∠DEA，PE=DE．
可得△PEN≌△DEG．
由OE=

OA

2

=4，可得E點的坐標為（4，0）．
NE=EG=

3

2

，ON=OE-NE=

5

2

，NP=DG=

25

16

．
∴點P的坐標為(

5

2

，

25

16

)．（5分）
∵x=

5

2

時，-2x+6=-2×

5

2

+6=1≠

25

16

，
∴點P不在直線BC上．
∴直線BC上不存在符合條件的點P．（6分）


（3）|QA-QO|的取值范圍是

0≤|QA-QO|≤4

.

．（8分）
當Q在OA的垂直平分線上與直線BC的交點時，（如點K處），此時OK=AK，則|QA-QO|=0，
當Q在AH的延長線與直線BC交點時，此時|QA-QO|最大，
直線AH的解析式為：y=-

3

4

x+6，直線BC的解析式為：y=-2x+6，
聯立可得：交點為（0，6），
∴OQ=6，AQ=10，
∴|QA-QO|=4，
∴|QA-QO|的取值范圍是：0≤|QA-QO|≤4．

點評：此題考查了二次函數與一次函數以及平行四邊形的綜合知識，解題的關鍵是認真識圖，注意數形結合思想的應用．