Question

【題目】如圖1，為直線上一點，過點作射線，，將一直角三角板（）的直角頂點放在點處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．

（1）將圖1中的三角板繞點以每秒的速度沿順時針方向旋轉一周．如圖2，經過秒后，邊恰好平分．求的值；

（2）在（1）問條件的基礎上，若三角板在轉動的同時，射線也繞點以每秒的速度沿順時針方向旋轉一周，如圖3，那么經過多長時間平分？請說明理由；

Answer 1

【答案】（1）5秒；（2）5秒時OC平分∠MON，理由見解析

【解析】

（1）由OM平分∠BOC，得∠COM=∠MOB，結合∠AOC=30°，得∠COM=75°，進而得∠AON=15°，即可得到答案；

（2）由三角板繞點O以每秒3°的速度，射線OC也繞O點以每秒6°的速度旋轉，得∠AON=3t，∠AOC=30°+6t，由OC平分∠MON，得∠CON=∠COM=45°，進而列出關于t的方程，即可求解．

（1）∵∠AON+∠MON+∠BOM=180°，∠MON=90°，

∴∠AON+∠BOM=90°，

∵OM平分∠BOC，

∴∠COM=∠MOB，

∵∠AOC=30°，

∴∠BOC=2∠COM=150°，

∴∠COM=75°，

∴∠CON=15°，

∴∠AON=∠AOC－∠CON=30°－15°=15°，

∴t=15÷3=5秒；

（2）經過5秒時，OC平分∠MON，理由如下：

∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，

∵∠MON=90°，

∴∠CON=∠COM=45°，

∵三角板繞點O以每秒3°的速度，射線OC也繞O點以每秒6°的速度旋轉，

∴∠AON=3t，∠AOC=30°+6t，

∵∠AOC－∠AON=45°，

∴30°+6t－3t=45°，

解得：t=5秒；