Question

如圖，∠MON=90°，邊長為2的等邊三角形ABC在∠MON內部，但兩頂點A、B分別在邊OM、ON上滑動，點D是AB邊中點
（1）求CD的長度；
（2）探究：△ABC在滑動的過程中，點C與點O之間的最大距離是多少．

Answer 1

分析：（1）如圖連接CD．根據等邊三角形“三合一”、三個內角都是60°的性質，結合勾股定理即可求得CD的長度；
（2）根據三角形的邊角關系得到OC小于等于OD+DC，只有當O、D及C共線時，OC取得最大值，最大值為OD+CD，由等邊三角形的邊長為2，根據D為AB中點，得到BD為1，根據三線合一得到CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，根據勾股定理求出CD的長，在直角三角形AOB中，OD為斜邊AB上的中線，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OD等于AB的一半，由AB的長求出OD的長，進而求出DC+OD，即為OC的最大值．

解答：解：（1）如圖，連接CD．
∵△ABC是等邊三角形，且邊長是2，∴BC=AB=1，
∵點D是AB邊中點，
∴BD=

1

2

AB=1，
∴CD=

BC2-BD2

=

22-12

=

3

，即CD=

3

；

（2）連接OD，OC，有OC≤OD+DC，
當O、D、C共線時，OC有最大值，最大值是OD+CD，
由（1）得，CD=

3

，
又∵△AOB為直角三角形，D為斜邊AB的中點，
∴OD=

1

2

=1，
∴OD+CD=1+

3

，即OC的最大值為1+

3

．

點評：此題考查了等邊三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及勾股定理，其中找出OC最大時的長為CD+OD是解本題的關鍵．