Question

如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角的斜邊在軸上，頂點的坐標為，為斜邊上的高．拋物線與直線交于點，點的橫坐標為．點在軸的正半軸上，過點作軸．交射線于點．設點的橫坐標為，以為頂點的四邊形的面積為．

（1）求所在直線的解析式；
（2）求的值；
（3）當時，求與的函數關系式；
（4）如圖，設直線交射線于點，交拋物線于點．以為一邊，在的右側作矩形，其中．直接寫出矩形與重疊部分為軸對稱圖形時的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）；（3）當時，；當時，S
（4）或或.

試題分析：（1）已知了A點的坐標，即可求出正比例函數直線OA的解析式；
（2）根據C點的橫坐標以及直線OC的解析式，可確定C點坐標，將其代入拋物線的解析式中即可求出待定系數a的值；
（3）已知了A點的坐標，即可求出OD、AD的長，由于△OAB是等腰直角三角形，即可確定OB的長；欲求四邊形ABDE的面積，需要分成兩種情況考慮：
①0＜m＜3時，P點位于線段OD上，此時陰影部分的面積為△AOB、△ODE的面積差；
②m＞3時，P點位于D點右側，此時陰影部分的面積為△OBE、△OAD的面積差；
根據上述兩種情況陰影部分的面積計算方法，可求出不同的自變量取值范圍內，S、m的函數關系式；
（4）若矩形RQMN與△AOB重疊部分為軸對稱圖形，首先要找出其對稱軸；
①由于直線OA的解析式為y=x，若設QM與OA的交點為H，那么∠QEH=45°，△QEH是等腰直角三角形；那么當四邊形QRNM是正方形時，重合部分是軸對稱圖形，此時的對稱軸為QN所在的直線；可得QR=RN，由此求出m的值；
②以QM、RN的中點所在直線為對稱軸，此時AD所在直線與此對稱軸重合，可得PD=RN=，由OP=OD-PD即可求出m的值；
③當P、D重合時，根據直線OC的解析式y=x知：RD=；此時R是AD的中點，由于RN∥x軸，且RN==DB，所以N點恰好位于AB上，RN是△ABD的中位線，此時重合部分是等腰直角三角形REN，由于等腰直角三角形是軸對稱圖形，所以此種情況也符合題意，此時OP=OD=3，即m=3；
當R在AB上時，根據直線OC的解析式可用m表示出R的縱坐標，即可得到PR、PB的表達式，根據PR=PB即可求出m的值；
根據上述三種軸對稱情況所得的m的值，及R在AB上時m的值，即可求得m的取值范圍．
（1）設直線OA的解析式為y=kx，
則有：3k=3，k=1；
∴直線的解析式為；
（2）當x=6時，y=x=3，
∴C（6，3）；
將C（6，3）代入拋物線的解析式中，
得：36a+12=3，解得；
（3）當時，如圖①，

＝；
當時，如圖②，



（4）或或.
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．