Question

【題目】如圖（1），拋物線y=﹣ x2+x+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點A的坐標為（﹣2，0）．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）①若點D是第一象限內拋物線上的一個動點，過點D作DE⊥x軸于E，連接CD，以OE為直徑作⊙M，如圖（2），試求當CD與⊙M相切時D點的坐標；
②點F是x軸上的動點，在拋物線上是否存在一點G，使A、C、G、F四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

由已知有：﹣ （﹣2）2+（﹣2）+c=0，

∴c=3，拋物線的解析式是：y=﹣ x2+x+3

（2）

解：方法一：

①令D（x，y），（x＞0，y＞0），

則E（x，0），M（ ，0），由（1）知C（0，3），

連接MC、MD，

∵DE、CD與⊙O相切，

∴∠OCM=∠MCD，∠CDM=∠EDM，

∴∠CMD=90°，

∴△COM∽△MED，

∴ = ，

∴ = ，

又∵D點在拋物線上，滿足解析式y=﹣ x2+x+3，

∴x= （1± ），

又∵x＞0，

∴x= （1+ ），

∴y= （3+ ），則D點的坐標是：（ （1+ ， （3+ ））．

②假設存在滿足條件的點G（a，b）．

若構成的四邊形是ACGF，（下圖1）則G與C關于直線x=2對稱，

∴G點的坐標是：（4，3）；

若構成的四邊形是ACFG，（下圖2）則由平行四邊形的性質有b=﹣3，

又∵﹣ a2+a+3=﹣3，

∴a=2±2 ，

此時G點的坐標是：（2±2 ，﹣3）

方法二：

①連接CM，DM，

∵D為拋物線：y=﹣ x2+x+3上的一點，

∴設D（t，﹣ t2+t+3），

∴E（t，0），

∵M為OE中點，

∴M（ ，0），

∵C（0，3），CD與⊙M相切，

∴∠MDC=∠EDM，∠OCM=∠MCD，

∵DE⊥x軸，

∴∠OCD+∠CDE=180°

∴∠MCD+∠MDC=90°

∴CD⊥DM，

∴KCM×KDM=﹣1，

∴ =﹣1，∴ ，

∴D（ ， ）．

②∵F是x軸上的動點，∴設F（t，0），

∵A（﹣2，0），C（0，3），

∴ ，∴ ，

同理： 或 ，

∴﹣ （t+2）2+t+2+3=3，∴ ，

∴﹣ （﹣t﹣2）2﹣t﹣2+3=3，∴ ，

∴﹣ （t﹣2）2+t﹣2+3=﹣3，t﹣2=2±2 ，

綜上所述，滿足題意的點G1（2﹣2 ，﹣3），G2（2+2 ，﹣3）

【解析】（1）把A的坐標代入拋物線的解析式，即可得到關于c的方程，求的c的值，則拋物線的解析式即可求解；（2）①連接MC、MD，證明△COM∽△MED，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求解；②分四邊形是ACGF和四邊形是ACFG兩種情況進行討論，根據平行四邊形的性質即可求解．
【考點精析】利用二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．