Question

已知：在四邊形ABCD中，AB=1，E、F、G、H分別時AB、BC、CD、DA上的點，且AE=BF=CG=DH．設四邊形EFGH的面積為S，AE=x（0≤x≤1）．
（1）如圖①，當四邊形ABCD為正方形時，
①求S關于x的函數(shù)解析式，并求S的最小值S₀；
②在圖②中畫出①中函數(shù)的草圖，并估計S=0.6時x的近似值（精確到0.01）；
（2）如圖③，當四邊形ABCD為菱形，且∠A=30°時，四邊形EFGH的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）①在Rt△AEH中，AE=x，AH=1-x，
則S=HE²=x²+（1-x）²
=2x²-2x+1=2（x-

1

2

）²+

1

2

∴當x=

1

2

時，S₀=

1

2

②列表：

x	0	0.3	0.5	0.7	1
S		0.58	0.5	0.58	0

在直角坐標系中描點、畫圖（圖2中粗線）．
（注：作圖時，不列對應值表不扣分）
觀察函數(shù)的圖象，可知當S=0.6時，x≈0.27和x≈0.73．
驗證：當x=0.27時，S=0.6029；當x=0.28時，S=0.5984．
從而取x≈0.28．同理取x≈0.72．

（2）四邊形EFGH的面積存在最小值．
理由如下：
由條件，易證△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH
作HM⊥AE于M，作FN⊥EB且FN交EB的延長線于N
∵AE=x，則AH=1-x
又在Rt△AMH中，∠HAM=30°
∴HM=

1

2

AH=

1

2

（1-x）
同理得FN=

1

2

BF=

1

2

x
∴S_△AEH=

1

2

AE•HM=

1

4

x（1-x），S_△EBF=

1

2

EB•FN=

1

4

x（1-x）
又∵S_ABCD=

1

2

∴S=

1

2

-4×

1

4

x（1-x）=x²-x+

1

2

=（x-

1

2

）²+

1

4

∴當x=

1

2

時，四邊形EFGH的面積存在最小值

1

4

．