Question

【題目】如圖， 中， ， ，點是線段延長線上任意一點，以為直角邊作等腰直角，且，連結．

（）求證： ．

（）在點運動過程中，試問的度數是否會變化？若不變，請求出它的度數，若變化，請說明它的變化趨勢．

（）已知，設， ．

①試求關于的函數表達式．

②當時，求的外接圓半徑．

Answer 1

【答案】（）見解析；（）結論： 的度數是定值， ；（）①，

②的外接圓的半徑為．

【解析】試題分析： 設與交于點，由，推出，，推出， ，推出，

推出，由，推出，即可解決問題．
（2）結論： 的度數是定值， ．由（1）可知△，即可推出
（3）①在中，由，推出BC=AC=1，在中， ，由，推出，推出，可得，根據計算即可．②取的中點，連接， ，

由 推出 推出點是的外接圓的圓心，求出線段即可解決問題．

試題解析：（）證明：如圖，設與交于點，

∵， ，

∴，

∵， ，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴， ，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

（）結論： 的度數是定值， ．

理由：由（）可知，

∴，

∴點運動過程中， 的度數是定值，

．

（）①在中，

∵，

∴，

在中， ，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴

，

．

②取的中點，連接， ，

∵，

∴，

∴點是的外接圓的圓心，

∵，

∴，

解得或（舍），

∴，

由（）可知，

∴，

在中，

，

∴．

∴的外接圓的半徑為．