Question

【題目】如圖， 在中，，，，為邊上一個動點，于點，上于點，為的中點，則的最小值是（ ）

A.B.

C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據勾股定理的逆定理可以證明∠BAC=90°；根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，則AM=EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根據三個角都是直角的四邊形是矩形，得四邊形AEPF是矩形，根據矩形的對角線相等，得EF=AP，則EF的最小值即為AP的最小值，根據垂線段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜邊上的高．

∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四邊形AEPF是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中點，
∴AM=EF=AP．
因為AP的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，即等于 ，
∴AM的最小值是
故選A．