Question

求兩個不同的自然數，其算術平均數A和幾何平均數G（指兩數積的算術平方根）都是兩位數，且A，G中一個可由另一個變換十位數字與個位數字得到．

Answer 1

【答案】分析：首先設兩個不同的自然數x，y，根據題意可表示出A與G的值，即可求得以x，y為兩根的二次方程，則可確定判別式△的取值，再設兩位數A=10m+n，則G=10n+m（m，n是數字），代入判別式△，由△是完全平方數，即可列得方程組，求解方程組，則可求得答案．
解答：解：設兩個不同的自然數x，y，
則A=，G=，
∴，
∴以x，y為兩根的二次方程：t²-2At+G²=0，
∵x，y是自然數，
∴△=（2A）²-4G²=4（A²-G²）=4（A+G）（A-G），
又設兩位數A=10m+n，則G=10n+m（m，n是數字），
∴△=4（11m+11n）（9m-9n）=36×11×（m+m）（m-n）是完全平方數，
又∵1＜m+n≤18，0＜m-n≤8，
∴（不合）
解得m=6，n=5．
∴A=65G=56t²-130t+56²=0，
解得t₁=98，t₂=32．
答：兩個不同自然數為98和32．
點評：此題考查了整數問題的綜合應用，二次方程的判別式，完全平方數以及算術平均數和幾何平均數等知識．此題綜合性很強，注意分析，合理應用判別式的知識是解此題的關鍵．