Question

【題目】一邊長為4正方形放在平面直角坐標(biāo)系中，其中為原點(diǎn)，點(diǎn)、分別在軸、軸上，為射線上任意一點(diǎn)

（1）如圖1，若點(diǎn)坐標(biāo)為，連接交于點(diǎn)，則的面積為__________；

（2）如圖2，將沿翻折得，若點(diǎn)在直線圖象上，求出點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）如圖3，將沿翻折得，和射線交于點(diǎn)，連接，若，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的等腰直角三角形，若存在，請求出所有點(diǎn)坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）E（，）；（3）Q（，），Q'（，），Q'（0，），Q''（8，）

【解析】

（1）由待定系數(shù)法可求直線OC，直線AD的解析式，再求出交點(diǎn)E的坐標(biāo)，由三角形面積公式可求解；

（2）如圖2，過點(diǎn)E作EH⊥OA，由折疊的性質(zhì)可得AO＝AE＝4，設(shè)點(diǎn)E（a，a），求出AH，再由勾股定理列方程求出a的值即可；

（3）由折疊的性質(zhì)可得∠DAO＝∠DAE＝75°，OA＝AE，∠DOA＝∠DEA＝90°，由“HL”可證Rt△AEF≌Rt△ACF，可得∠CAF＝∠EAF＝30°，然后求出CF＝，再分兩種情況討論，由全等三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可．

解：（1）∵邊長為4的正方形OACB放在平面直角坐標(biāo)系中，

∴點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)C（4，4），點(diǎn)D（0，2），

∴直線OC解析式為：y＝x，

設(shè)直線AD解析式為：y＝kx＋b，

則，解得：，

∴直線AD解析式為：y＝x＋2，

聯(lián)立，解得：，

∴點(diǎn)E坐標(biāo)（，），

∴△AOE的面積＝×4×＝，

故答案為：；

（2）如圖2，過點(diǎn)E作EH⊥OA，

∵將△AOD沿AD翻折得△AED，

∴AO＝AE＝4，

設(shè)點(diǎn)E（a，a），

∴OH＝a，EH＝a，

∴AH＝4a，

∵AE2＝EH2＋AH2，

∴16＝a2＋（4a）2，

∴a＝0（舍去）或a＝，

∴點(diǎn)E（，）；

（3）∵將△AOD沿AD翻折得△AED，

∴∠DAO＝∠DAE＝75°，OA＝AE，∠DOA＝∠DEA＝90°，

∴∠OAE＝150°，AE＝AC，∠ACF＝∠AED＝90°，

∴∠CAE＝60°，

∵AE＝AC，AF＝AF，

∴Rt△AEF≌Rt△ACF（HL），

∴∠CAF＝∠EAF＝30°，

∴AF＝2CF，

∴AF2＝AC2+CF2，即4CF2＝16+CF2，

∴CF＝（負(fù)值舍去），

∵△AFQ是以AF為直角邊的等腰直角三角形，

∴當(dāng)∠AFQ＝90°，AF＝FQ時(shí)，如圖3，過點(diǎn)Q作QN⊥BF于點(diǎn)N，

∴∠NQF＋∠QFN＝90°，且∠QFN＋∠AFC＝90°，

∴∠NQF＝∠AFC，且∠ACF＝∠QNF＝90°，QF＝AF，

∴△QNF≌△FCA（AAS），

∴QN＝CF＝，AC＝NF＝4，

∴Q（，），

同理可求：Q'（，）；

當(dāng)∠FAQ＝90°，AF＝AQ時(shí)，

同理可求，Q'（0，），Q''（8，）.