Question

【題目】問題背景：如圖1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于點D，則D為BC的中點，∠BAD= ∠BAC=60°，于是 = = ； 遷移應用：如圖2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠ADE=120°，D，E，C三點在同一條直線上，連接BD．

（1）①求證：△ADB≌△AEC；②請直接寫出線段AD，BD，CD之間的等量關系式；
（2）拓展延伸：如圖3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC內作射線BM，作點C關于BM的對稱點E，連接AE并延長交BM于點F，連接CE，CF．
①證明△CEF是等邊三角形；
②若AE=5，CE=2，求BF的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：①證明：如圖②

∵∠BAC=∠ADE=120°，

∴∠DAB=∠CAE，

在△DAE和△EAC中，

，

∴△DAB≌△EAC，

②解：結論：CD= AD+BD．

理由：如圖2﹣1中，作AH⊥CD于H．

∵△DAB≌△EAC，

∴BD=CE，

在Rt△ADH中，DH=ADcos30°= AD，

∵AD=AE，AH⊥DE，

∴DH=HE，

∵CD=DE+EC=2DH+BD= AD+BD

（2）解：：①證明：如圖3中，作BH⊥AE于H，連接BE．

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，

∴△ABD，△BDC是等邊三角形，

∴BA=BD=BC，

∵E、C關于BM對稱，

∴BC=BE=BD=BA，FE=FC，

∴A、D、E、C四點共圓，

∴∠ADC=∠AEC=120°，

∴∠FEC=60°，

∴△EFC是等邊三角形，

②解：∵AE=5，EC=EF=2，

∴AH=HE=2.5，FH=4.5，

在Rt△BHF中，∵∠BHF=30°，

∴ =cos30°，

∴BF= =3

【解析】遷移應用：①如圖②中，只要證明∠DAB=∠CAE，即可根據SAS解決問題；②結論：CD= AD+BD．由△DAB≌△EAC，可知BD=CE，在Rt△ADH中，DH=ADcos30°= AD，由AD=AE，AH⊥DE，推出DH=HE，由CD=DE+EC=2DH+BD= AD+BD，即可解決問題； 拓展延伸：①如圖3中，作BH⊥AE于H，連接BE．由BC=BE=BD=BA，FE=FC，推出A、D、E、C四點共圓，推出∠ADC=∠AEC=120°，推出∠FEC=60°，推出△EFC是等邊三角形；
②由AE=5，EC=EF=2，推出AH=HE=2.5，FH=4.5，在Rt△BHF中，由∠BHF=30°，可得 =cos30°，由此即可解決問題．