Question

【題目】拋物線y=4x2﹣2ax+b與x軸相交于A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）（0＜x1＜x2）兩點，與y軸交于點C．
（1）設AB=2，tan∠ABC=4，求該拋物線的解析式；
（2）在（1）中，若點D為直線BC下方拋物線上一動點，當△BCD的面積最大時，求點D的坐標；
（3）是否存在整數a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同時成立，請證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵tan∠ABC=4

∴可以假設B（m，0），則A（m﹣2，0），C（0，4m），

∴可以假設拋物線的解析式為y=4（x﹣m）（x﹣m+2），

把C（0，4m）代入y=4（x﹣m）（x﹣m+2），得m=3，

∴拋物線的解析式為y=4（x﹣3）（x﹣1），

∴y=4x2﹣16x+12

（2）

解：如圖，設P（m，4m2﹣16m+12）．作PH∥OC交BC于H．

∵B（3，0），C（0，12），

∴直線BC的解析式為y=﹣4x+12，

∴H（m，﹣4m+12），

∴S△PBC=S△PHC+S△PHB= （﹣4m+12﹣4m2+16m﹣12）3=﹣6（m﹣ ）2+ ，

∵﹣6＜0，

∴m= 時，△PBC面積最大，

此時P（ ，﹣3）

（3）

解：不存在．

理由：假設存在．由題意可知，

且1＜﹣ ＜2，

∴4＜a＜8，

∵a是整數，

∴a=5 或6或7，

當a=5時，代入不等式組，不等式組無解．

當a=6時，代入不等式組，不等式組無解．

當a=7時，代入不等式組，不等式組無解．

綜上所述，不存在整數a、b，使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同時成立

【解析】（1）由tan∠ABC=4，可以假設B（m，0），則A（m﹣2，0），C（0，4m），可得拋物線的解析式為y=4（x﹣m）（x﹣m+2），把C（0，4m）代入y=4（x﹣m）（x﹣m+2），求出m的值即可解決問題；（2）設P（m，4m2﹣16m+12）．作PH∥OC交BC于H，根據S△PBC=S△PHC+S△PHB構建二次函數，理由二次函數的性質解決問題；（3）不存在．假設存在，由題意由題意可知， 且1＜﹣ ＜2，首先求出整數a的值，代入不等式組，解不等式組即可解決問題．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．