Question

【題目】如圖1，正方形ABCD和正方形AEFG，連接DG，BE。

(1)發現

當正方形AEFG繞點A旋轉，如圖2，①線段DG與BE之間的數量關系是____________。②直線DG與直線BE之間的位置關系是____________。

(2)探究

如圖3，若四邊形ABCD與四邊形AEFG都為矩形，且AD=2AB，AG=2AE，證明：直線DG⊥BE

(3)應用

在(2)情況下，連結GE(點E在AB上方)，若GE∥AB，且AB=，AE=1，則線段DG是多少?(直接寫出結論)

Answer 1

【答案】 DG=BE DG⊥BE

【解析】試題分析：（1）證明△EAB≌△GAD，可得到BE=DG，∠ABE=∠ADG，再由三角形內角和為180°，即可得到結論；

（2）證明△ABE∽△ADG，再由三角形內角和為180°，即可得到結論；

（3）當GE∥AB時，B、E、F三點在一條直線上，且F剛好在DG上．先求出AD，AG的長，再由勾股定理即可得到結論．

試題解析：解：（1）①DG=BE；②DG⊥BE．理由如下：

延長BE交AD，DG分別為P，H．∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，AE=AG，∠EAG=90°，∴∠EAB=∠GAD．在△EAB和△GAD中，∵AB=AD，∠EAB=∠GAD，AE=AG，∴△EAB≌△GAD，∴BE=DG，∠ABE=∠ADG．∵∠APB=∠HPD（對頂角相等），∴∠BAP=∠DHP=90°，∴BG⊥DG．

（2）延長BE交AD，DG分別為P，H．

∵∠BAE+∠DAE=∠DAG+∠DAE=90°，∴∠BAE=∠DAG．

∵AD=2AB，AG=2AE，∴，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABP=∠HDP．

∵∠APB=∠HPD，∴∠BAD=∠DHP=90°，∴ DG⊥BE．

（3） 當GE∥AB時，B、E、F三點在一條直線上，且F剛好在DG上，∴∠AEB=90°．∵∠AGD=∠AEB，∴∠AGD=90°．∵AB=，AE=1，∴AG=2AE=2，AD=2AB=，∴DG===4．