Question

【題目】如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，點(diǎn)A（﹣4，1）、B（0，1）、C（0，3），

（1）過(guò)O的直線(xiàn)l和經(jīng)過(guò)AC的直線(xiàn)平行，求直線(xiàn)l表達(dá)式；

（2）已知在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線(xiàn)，若與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長(zhǎng)與面積相等，則這個(gè)點(diǎn)叫做和諧點(diǎn)．在直線(xiàn)l上是否存在點(diǎn)P為和諧點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣6，﹣3）和（6，3）．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出經(jīng)過(guò)AC的直線(xiàn)表達(dá)式，再利用平行的性質(zhì)可求出直線(xiàn)l表達(dá)式；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2m，m），根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式、面積公式結(jié)合矩形的周長(zhǎng)與面積相等，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其非零的值即可得出結(jié)論．

解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)AC的直線(xiàn)表達(dá)式為y＝kx+b（k≠0），

將A（﹣4，1），C（0，3）代入y＝kx+b，得：

解得：

∴經(jīng)過(guò)AC的直線(xiàn)表達(dá)式為y＝x+3．

∵直線(xiàn)l過(guò)原點(diǎn)，且和經(jīng)過(guò)AC的直線(xiàn)平行，

∴直線(xiàn)l的表達(dá)式為y＝x．

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2m，m），

根據(jù)題意得：2|2m+m|＝2m2，

即m2+3m＝0或m2﹣3m＝0，

解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣3，m3＝3，

∴在直線(xiàn)l上存在點(diǎn)P為和諧點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣6，﹣3）和（6，3）．