Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+8（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B兩點，與y軸交于C點，tan∠ABC=2．
（1）求拋物線的表達式及其頂點D的坐標；
（2）過點A、B作x軸的垂線，交直線CD于點E、F，將拋物線沿其對稱軸向上平移m個單位，使拋物線與線段EF（含線段端點）只有1個公共點．求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由拋物線的表達式知，點C（0，8），即 OC=8；

Rt△OBC中，OB=OCtan∠ABC=8× =4，

則點B（4，0）．

將A、B的坐標代入拋物線的表達式中，

得： ，

解得： ，

∴拋物線的表達式為y=﹣x2+2x+8，

∵y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣1）2+9，

∴拋物線的頂點坐標為D（1，9）

（2）解：設直線CD的表達式為y=kx+8，

∵點D（1，9），

∴直線CD表達式為y=x+8．

∵過點A、B作x軸的垂線，交直線CD于點E、F，

可得：E（﹣2，6），F（4，12）．

設拋物線向上平移m個單位長度（m＞0），

則拋物線的表達式為：y=﹣（x﹣1）2+9+m；

當拋物線過E（﹣2，6）時，m=6，

當拋物線過F（4，12）時，m=12，

∵拋物線與線段EF（含線段端點）只有1個公共點，

∴m的取值范圍是6＜m≤12

【解析】（1）由OC=8、tan∠ABC=2得點B坐標，將點A、B坐標代入求解可得；（2）先求出直線CD解析式和點E、F坐標，設平移后解析式為y=﹣（x﹣1）2+9+m，結合圖象根據拋物線與線段EF（含線段端點）只有1個公共點，求得臨界時m的值，從而得出答案，
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數圖象的平移的相關知識，掌握平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減，以及對拋物線與坐標軸的交點的理解，了解一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．