Question

【題目】如圖，已知△ABC是等腰三角形，頂角∠BAC=（<600）,D是BC邊上的一點，連接AD，線段AD繞點A順時針旋轉到AE，過點E作BC的平行線，交AB于點F，連接DE、BE、DF

（1）求證：BE=CD

（2）若AD⊥BC，試判斷四邊形BDFE的形狀，并給出證明。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

試題分析：根據旋轉可得AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC，從而得到∠BAE=∠CAD，從而得出△ACD和△ABE全等，從而得出答案；根據題意得出△ABD和△ABE全等，從而得出∠EBF=∠DBF，根據EF∥BC得到∠DBF=∠EFB，從而得到∠EBF=∠EFB，則EB=EF，利用同理得出BD=FD，從而得到菱形．

試題解析：（1）∵△ABC是等腰三角形，頂角∠BAC=α（α＜60°），線段AD繞點A順時針旋轉α到AE，∴AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC， ∴∠BAE=∠CAD

在△ACD和△ABE中 ∴△ACD≌△ABE（SAS） ∴BE=CD；

（2）∵AD⊥BC，∴BD=CD,∠BAD=∠CAD， 由（1）可知，△ACD≌△ABE，∴BE=BD=CD，∠BAE=∠BAD

在△ABD和△ABE中， ∴△ABD≌△ABE（SAS）， ∴∠EBF=∠DBF，

∵EF∥BC， ∴∠DBF=∠EFB， ∴∠EBF=∠EFB， ∴EB=EF，同理BD=FD，∴BD=BE=EF=FD，

∴四邊形BDFE為菱形