Question

（2012•湛江） 如圖，已知點E在直角△ABC的斜邊AB上，以AE為直徑的⊙O與直角邊BC相切于點D．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若BE=2，BD=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）先連接OD，再由OD⊥BC和AC⊥BC可知OD∥AC從而得證；
（2）利用切割線定理可先求出AB，進而求出圓的直徑，半徑則可求出．

解答：（1）證明：連接OD，
∵BC是⊙O的切線，
∴OD⊥BC，
又∵AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∴∠2=∠3；
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AD平分∠BAC；

（2）解：∵BC與圓相切于點D．
∴BD²=BE•BA，
∵BE=2，BD=4，
∴BA=8，
∴AE=AB-BE=6，
∴⊙O的半徑為3．

點評：本題考查了圓的切線性質和切割線定理，遇到圓的切線的問題，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．