Question

（2012•湛江）如圖，設四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF、再以對角線AE為邊作笫三個正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的邊長記為a₁，按上述方法所作的正方形的邊長依次為a₂，a₃，a₄，…，a_n，則a_n=

（

2

）^n-1

．

Answer 1

分析：求a₂的長即AC的長，根據直角△ABC中AB²+BC²=AC²可以計算，同理計算a₃、a₄．由求出的a₂=

2

a₁，a₃=

2

a₂…，a_n=

2

a_n-1=（

2

）^n-1，可以找出規律，得到第n個正方形邊長的表達式．

解答：解：∵a₂=AC，且在直角△ABC中，AB²+BC²=AC²，
∴a₂=

2

a₁=

2

，
同理a₃=

2

a₂=2，
a₄=

2

a₃=2

2

，
…
由此可知：a_n=（

2

）^n-1，
故答案為：（

2

）^n-1

點評：本題考查了正方形的性質，以及勾股定理在直角三角形中的運用，考查了學生找規律的能力，本題中找到a_n的規律是解題的關鍵．