Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，點O為原點，點A的坐標為(0，8)，點C的坐標為(6，0)．拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A、C，與AB交于點D．

(1)求拋物線的函數解析式；

(2)點P為線段BC上一個動點(不與點C重合)，點Q為線段AC上一個動點，AQ＝CP，連接PQ，設CP＝m，△CPQ的面積為S．

①求S關于m的函數表達式；

②當S最大時，在拋物線y＝﹣x2+bx+c的對稱軸l上，若存在點F，使△DFQ為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+8；(2)①S＝﹣m2+3m；②滿足條件的點F共有四個，坐標分別為F1(，8)，F2(，4)，F3(，6+)，F4(，6﹣)．

【解析】

（1）運用待定系數法求解；（2）①根據三角函數值性質得；②求函數的最值，根據拋物線性質求出D,Q的坐標，根據直角的位置有3種可能，展開分析，解直角三角形.

(1)將A、C兩點坐標代入拋物線，得

，

解得：，

∴拋物線的解析式為y＝

(2)①∵OA＝8，OC＝6，

∴AC＝

過點Q作QE⊥BC與E點，則sin∠ACB＝

②

∴當m＝5時，S取最大值；

在拋物線對稱軸l上存在點F，使△FDQ為直角三角形，

∵拋物線的解析式為y＝的對稱軸為x＝，

D的坐標為(3，8)，Q(3，4)，

當∠FDQ＝90°時，F1(，8)，

當∠FQD＝90°時，則F2(，4)，

當∠DFQ＝90°時，設F(，n)，

則FD2+FQ2＝DQ2，

即 +(8﹣n)2+ +(n﹣4)2＝16，

解得：n＝6±，

∴F3(，6+ )，F4(，6﹣)，

滿足條件的點F共有四個，坐標分別為

F1(，8)，F2(，4)，F3(，6+ )，F4(，6﹣)．