Question

（2012•瀘州）某商店準備購進甲、乙兩種商品．已知甲商品每件進價15元，售價20元；乙商品每件進價35元，售價45元．
（1）若該商店同時購進甲、乙兩種商品共100件，恰好用去2700元，求購進甲、乙兩種商品各多少件？
（2）若該商店準備用不超過3100元購進甲、乙兩種商品共100件，且這兩種商品全部售出后獲利不少于890元，問應該怎樣進貨，才能使總利潤最大，最大利潤是多少？（利潤=售價-進價）

Answer 1

分析：（1）設購進甲、乙兩種商品分別為x件與y件，根據甲種商品件數+乙種商品件數=100，甲商品的總進價+乙種商品的總進價=2700，列出關于x與y的方程組，求出方程組的解即可得到x與y的值，得到購進甲、乙兩種商品的件數；
（2）設商店購進甲種商品a件，則購進乙種商品（100-a）件，根據甲商品的總進價+乙種商品的總進價小于等于3100，甲商品的總利潤+乙商品的總利潤大于等于890列出關于a的不等式組，求出不等式組的解集，得到a的取值范圍，根據a為正整數得出a的值，再表示總利潤W，發現W與a成一次函數關系式，且為減函數，故a取最小值時，W最大，即可求出所求的進貨方案與最大利潤．

解答：解：（1）設購進甲種商品x件，購進乙商品y件，
根據題意得：

x+y=100 15x+35y=2700

，
解得：

x=40 y=60

，
答：商店購進甲種商品40件，購進乙種商品60件；

（2）設商店購進甲種商品a件，則購進乙種商品（100-a）件，
根據題意列得：

15a+35(100-a)≤3100 5a+10(100-a)≥890

，
解得：20≤a≤22，
∵總利潤W=5a+10（100-a）=-5a+1000，W是關于a的一次函數，W隨a的增大而減小，
∴當a=20時，W有最大值，此時W=900，且100-20=80，
答：應購進甲種商品20件，乙種商品80件，才能使總利潤最大，最大利潤為900元．

點評：此題考查了二元一次方程組的應用，一次函數的性質，以及一元一次不等式組的應用，弄清題中的等量關系及不等關系是解本題的關鍵．