Question

【題目】如圖，頂點為A（ ，1）的拋物線經過坐標原點O，與x軸交于點B．

（1）求拋物線對應的二次函數的表達式；
（2）過B作OA的平行線交y軸于點C，交拋物線于點D，求證：△OCD≌△OAB；
（3）在x軸上找一點P，使得△PCD的周長最小，求出P點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線頂點為A（ ，1），

設拋物線解析式為y=a（x﹣ ）2+1，

將原點坐標（0，0）在拋物線上，

∴0=a（ ）2+1

∴a=﹣ ．

∴拋物線的表達式為：y=﹣ x2+ x

（2）

解：令y=0，得 0=﹣ x2+ x，

∴x=0（舍），或x=2

∴B點坐標為：（2 ，0），

設直線OA的表達式為y=kx，

∵A（ ，1）在直線OA上，

∴ k=1，

∴k= ，

∴直線OA對應的一次函數的表達式為y= x．

∵BD∥AO，

設直線BD對應的一次函數的表達式為y= x+b，

∵B（2 ，0）在直線BD上，

∴0= ×2 +b，

∴b=﹣2，

∴直線BD的表達式為y= x﹣2．

由

得交點D的坐標為（﹣ ，﹣3），

令x=0得，y=﹣2，

∴C點的坐標為（0，﹣2），

由勾股定理，得：OA=2=OC，AB=2=CD，OB=2 =OD．

在△OAB與△OCD中，

，

∴△OAB≌△OCD．

（3）

解：點C關于x軸的對稱點C'的坐標為（0，2），

∴C'D與x軸的交點即為點P，它使得△PCD的周長最小．

過點D作DQ⊥y，垂足為Q，

∴PO∥DQ．

∴△C'PO∽△C'DQ．

∴ ，

∴ ，

∴PO= ，

∴點P的坐標為（﹣ ，0）

【解析】（1）用待定系數法求出拋物線解析式，（2）先求出直線OA對應的一次函數的表達式為y= x．再求出直線BD的表達式為y= x﹣2．最后求出交點坐標C，D即可；（3）先判斷出C'D與x軸的交點即為點P，它使得△PCD的周長最小．作輔助線判斷出△C'PO∽△C'DQ即可．