Question

如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求證：CD2=CA•CB；

（2）求證：CD是⊙O的切線；

（3）過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的長．

 

 

Answer 1

(1)證明見解析；（2）證明見解析；（3）5.

【解析】

試題分析：（1）通過相似三角形（△ADC∽△DBC）的對應邊成比例來證得結論；

（2）如圖，連接OD．欲證明CD是⊙O的切線，只需證明OD⊥CD即可；

（3）通過相似三角形△EBC∽△ODC的對應邊成比例列出關于BE的方程，通過解方程來求線段BE的長度即可．

試題解析：（1）證明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，

∴△ADC∽△DBC，

∴，即CD2=CA•CB；

（2）證明：如圖，連接OD．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠1+∠3=90°．

∵OA=OD，

∴∠2=∠3，

∴∠1+∠2=90°．

又∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，

∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°，

∴OD⊥CD．

又∵OD是⊙O的半徑，

∴CD是⊙O的切線；

（3）【解析】
如圖，連接OE．

∵EB、CD均為⊙O的切線，

∴ED=EB，OE⊥DB，

∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，

∴∠ABD=∠OEB，

∴∠CDA=∠OEB．

而tan∠CDA=，

∴tan∠OEB=，

∵∠ODC=∠EBC=90°，∠C=∠C，

∴Rt△CDO∽Rt△CBE，

∴，

∴CD=8，

在Rt△CBE中，設BE=x，

∴（x+8）2=x2+122，

解得x=5．

即BE的長為5．

考點：1.切線的判定；2.相似三角形的判定與性質．