Question

【題目】已知，

(1) 如圖1，若BD=DC，點C在AE的垂直平分線上。AB+BD與DE有什么關系？請給出證明。

(2) 如圖2，若, AB+BD與DE是否還存在（1）中的關系？若存在，請給出證明，若不存在，請說明理由。

(3) 若，則AB+AE與AD+BE有怎樣的關系？答：AB+AE AD+BE （填“>”,“<”或“=”）

Answer 1

【答案】（1）AB+BD=DE,理由見解析；（2）仍然成立，理由見解析；（3）＜.

【解析】

（1）分別根據AD垂直平分BC和C在AE的垂直平分線上證明AB=AC=CE，BD=CD，由此可得AB+BD=DE；

（2）在DE上取點M，使BD=DM，根據AD⊥BM，BD=MD可證明∠B=∠AMB，再根據可證明∠MAE=∠E，由此可證明AM=ME=AB，即可證明AB+BD =DE；

（3）通過勾股定理可得,通過等面積法可得,再由完全平方公式可推理出，由此可證.

（1）AB+BD=DE,理由如下：

∵C在AE的垂直平分線上

∴AC=CE

又∵AD⊥BC，BD=CD

∴AD垂直平分BC

∴AB=AC, BD =CD

∴AB= CE

∴AB+BD=CE+CD=DE；

（2）仍然成立，理由如下：

如圖，在DE上取點M，使BD=DM，連接AM

∵AD⊥BM，BD=MD，

∴AB=AM，

∴∠B=∠AMB=2∠E=∠E+∠MAE

∴∠MAE=∠E

∴AM=ME=AB

∴AB+BD=ME+DM=DE；

（3）∵，

∴在△ABE中根據勾股定理可得

由直角三角形的面積公式可得

即

∴

∵

∴，

∵線段的長度皆為正

∴