Question

【題目】如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接EF給出下列五個結論：①AP=EF；②△APD一定是等腰三角形；③AP⊥EF；④PD=EF．其中正確結論的番號是（ ）

A.①③④B.①②③C.①③D.①②④

Answer 1

【答案】C

【解析】

過P作PG⊥AB于點G，根據正方形對角線的性質及題中的已知條件，證明△AGP≌△FPE后即可證明①AP=EF；在此基礎上，根據正方形的對角線平分對角的性質，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得，即可得到答案．

證明：過P作PG⊥AB于點G，

∵點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，

∴GP=EP，

在△GPB中，∠GBP=45°，

∴∠GPB=45°，

∴GB=GP，

同理，得PE=BE，

∵AB=BC=GF，

∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，

∴AG=PF，

∴△AGP≌△FPE，

∴AP=EF；故①正確；

延長AP到EF上于一點H，

∴∠PAG=∠PFH，

∵∠APG=∠FPH，

∴∠PHF=∠PGA=90°，

即AP⊥EF；故③正確；

∵點P是正方形ABCD的對角線BD上任意一點，∠ADP=45度，

∴當∠PAD=45度或67.5度或90度時，△APD是等腰三角形，

除此之外，△APD不是等腰三角形，故②錯誤．

∵GF∥BC，

∴∠DPF=∠DBC，

又∵∠DPF=∠DBC=45°，

∴∠PDF=∠DPF=45°，

∴PF=EC，

∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，
∴，故④錯誤．

∴正確的選項是①③；

故選：C．