Question

【題目】知識再現：已知，如圖，四邊形ABCD是正方形，點M、N分別在邊BC、CD上，連接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，延長CB至G使BG＝DN，連接AG，根據三角形全等的知識，我們可以證明MN＝BM+DN．

知識探究：（1）在如圖中，作AH⊥MN，垂足為點H，猜想AH與AB有什么數量關系？并證明；

知識應用：（2）如圖，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于點D，且BD＝2，AD＝6，則CD的長為 ；

知識拓展：（3）如圖，四邊形ABCD是正方形，E是邊BC的中點，F為邊CD上一點，∠FEC＝2∠BAE，AB=24，求DF的長．

Answer 1

【答案】（1）AB＝AH， 證明見解析；（2）3；（3）8 .

【解析】

（1）先證△ABG≌△ADN，再證△GAM≌△NAM，根據GM和NM是對應邊，得到AB＝AH（全等三角形對應邊上的高相等）；

（2）作△ABD關于直線AB的對稱△ABE，作△ACD關于直線AC的對稱△ACF，延長EB、FC交于點G，則四邊形AEGF是矩形，又AE=AD=AF，所以四邊形AEGF是正方形，設設CD=x，則BG=62=4；CG=6 x；BC=2+ x，在Rt△BGC中，得x=3，所以CD的長為3．

（3）過點A作交EF于點M,證明△ABE≌△AME，得到 再證明≌,設DF=x，得到EF=12+ x；FC=24 x；EC=12，在Rt△EFC中, 解方程即可.

（1）答：AB＝AH，

證明：如圖1

∵四邊形ABCD是正方形，

∴

∴

又∵AB=AD，

∵在△ABG和△ADN中，

∴△ABG≌△ADN(SAS)，

∴

∵

∴

∴

即

∵在△GAM和△NAM中，

∴△GAM≌△NAM(SAS)，

又∵GM和NM是對應邊，

∴AB=AH(全等三角形對應邊上的高相等)；

(2)作△ABD關于直線AB的對稱△ABE，作△ACD關于直線AC的對稱△ACF，

∵AD是△ABC的高，

∴

∴

又∵

∴

延長EB、FC交于點G，則四邊形AEGF是矩形，

又∵AE=AD=AF

∴四邊形AEGF是正方形，

由(1)、(2)知：EB=DB=2，AE=AF=AD=EG=6，

設CD=x，

∴BG=62=4；CG=6 x；BC=2+ x，

在Rt△BGC中,

解得

故CD的長為3.

（3）如圖3，過點A作交EF于點M,

在△ABE和△AME中，

∴△ABE≌△AME(AAS)，

在和中，

≌,

設DF=x，

∴EF=12+ x/span>；FC=24 x；EC=12，

在Rt△EFC中,

解得

故DF的長為8.

圖3