Question

【題目】在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝25，BC＝15．

（1）如圖1，折疊△ABC使點A落在AC邊上的點D處，折痕交AC、AB分別于Q、H，若S△ABC＝9S△DHQ，則HQ＝　 　．

（2）如圖2，折疊△ABC使點A落在BC邊上的點M處，折痕交AC、AB分別于E、F．若FM∥AC，求證：四邊形AEMF是菱形；

（3）在（1）（2）的條件下，線段CQ上是否存在點P，使得△CMP和△HQP相似？若存在，求出PQ的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）證明見解析；（3）QP的值為或10或．

【解析】

（1）利用勾股定理求出AC，設HQ=x，根據S△ABC=9S△DHQ，構建方程即可解決問題；

（2）想辦法證明四邊相等即可解決問題；

（3）設AE=EM=FM=AF=4m，則BM=3m，FB=5m，構建方程求出m的值，分兩種情形分別求解即可解決問題.

解：（1）如圖1中，

在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝25，BC＝15，

∴AC＝＝20，設HQ＝x，

∵HQ∥BC，

∴，

∴AQ＝x，

∵S△ABC＝9S△DHQ，

∴×20×15＝9××x×x，

∴x＝5或﹣5（舍棄），

∴HQ＝5，

故答案為5．

（2）如圖2中，

由翻折不變性可知：AE＝EM，AF＝FM，∠AFE＝∠MFE，

∵FM∥AC，

∴∠AEF＝∠MFE，

∴∠AEF＝∠AFE，

∴AE＝AF，

∴AE＝AF＝MF＝ME，

∴四邊形AEMF是菱形．

（3）如圖3中，

設AE＝EM＝FM＝AF＝4m，則BM＝3m，FB＝5m，

∴4m+5m＝25，

∴m＝，

∴AE＝EM＝，

∴EC＝20﹣＝，

∴CM＝，

∵QG＝5，AQ＝，

∴QC＝，設PQ＝x，

當時，△HQP∽△MCP，

∴，

解得：x＝，

當＝時，△HQP∽△PCM，

∴

解得：x＝10或，

經檢驗：x＝10或是分式方程的解，且符合題意，

綜上所，滿足條件長QP的值為或10或．