Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙M的圓心M在y軸上，⊙M與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C、D，過(guò)點(diǎn)A作⊙M的切線AP交y軸于點(diǎn)P，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），

（1）求證：∠PAC＝∠CAO；

（2）求直線PA的解析式；

（3）若點(diǎn)Q為⊙M上任意一點(diǎn)，連接OQ、PQ，問(wèn)的比值是否發(fā)生變化？若不變求出此值；若變化，說(shuō)明變化規(guī)律．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）

【解析】

（1）連接MA，如圖1，由PA是⊙M的切線得∠PAC+∠MAC=90°；由MA=MC得∠MCA=∠MAC，又∠OAC+∠MCA=90°，易證∠PAC=∠OAC；

（2）如圖1，由于點(diǎn)A的坐標(biāo)已知，要求直線PA的解析式，只需求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，只需求出OP的長(zhǎng)，易證△AOM∽△PAM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出MP，從而可求出OP，問(wèn)題得以解決；

（3）連接MQ，如圖2，由于MA=MQ，結(jié)合（2）中已證的結(jié)論，由此可證到△MOQ∽△MQP，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．

（1）連接MA，如圖1，

∵PA是⊙M的切線，

∴AM⊥AP，

∴∠PAC+∠MAC=90°，

∵MA=MC，

∴∠MCA=∠MAC，

∵∠OAC+∠MCA=90°，

∴∠PAC=∠OAC；

（2）如圖1，

∵∠AMO=∠PMA，∠AOM=∠PAM=90°，

∴△AOM∽△PAM，

∴，

∴MA2=MOMP．

設(shè)AM=R，

∵A（-4，0），C（0，2），

∴OA=4,OC=2

在Rt△AOM中，

∵OA=4，OM=R-2，

由AM2=OM2+AO2得，R2=(R-2)2+42

解得，R=5，即AM=5，

∴OM=5-2=3．

∴25=3MP，

∴MP=，

∴OP=MP-OM=-3=，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，），

設(shè)直線PA的解析式為y=kx+b，

則有，

解得，

∴直線PA的解析式為y=x+；

（3）連接MQ，如圖2，

∵（（2）中已證），MA=MQ，

∴，

∵∠QMO=∠PMQ，

∴△MOQ∽△MQP，

∴，

∴不變，等于．