Question

某公園有一圓弧形的拱橋，如圖已知拱橋所在的圓的半徑為10米，拱橋頂到水面距離米．

（1）求水面寬度的大小；
（2）當水面上升到時，從點測得橋頂的仰角為，若=3，求水面上升的高度．

Answer 1

（1）16（2）2

解：（1）設拱橋所在圓的圓心為，由題意可知，點在的延長線上，
聯結，
∵，
∴                                                      （1分）
在中，, 
∴                                                           （2分）
∵,是半徑， 
∴                                                   （2分）
即水面寬度的長為米.
（2）設與相交于點，聯結， 
∵
∴，
∴，                                            （1分）
在中，， 
∴                                                         （1分）
設水面上升的高度為米，即，則，
∴
在中，，
， 化簡得
解得（舍去），                                            （2分）
答：水面上升的高度為2米
（1）設拱橋所在圓的圓心為O，由題意可知，點O在DC的延長線上，連接OA，在Rt△ADO中利用勾股定理求出AD的長，再由垂徑定理求出AB=2AC即可得出答案；
（2）設OD與EF相交于點G，連接OE，由EF∥AB，OD⊥AB，可知OD⊥EF，∠EGC=∠EGO=90°，在Rt△EGC中，由cotα="EG/CG" =3，可知EG=3CG，設水面上升的高度為x米，即DG=x，則CG=4-x，則EG=12-3x，在Rt△EGO中，利用勾股定理即可求出x的值，進而得出結論．