Question

【題目】（1）在等邊三角形ABC中，

①如圖①，D，E分別是邊AC，AB上的點且AE=CD，BD與EC交于點F，則∠BFE的度數是　 　度；

②如圖②，D，E分別是邊AC，BA延長線上的點且AE=CD，BD與EC的延長線交于點F，此時∠BFE的度數是　 　度；

（2）如圖③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是銳角，點O是AC邊的垂直平分線與BC的交點，點D，E分別在AC，OA的延長線上，AE=CD，BD與EC的延長線交于點F，若∠ACB=α，求∠BFE的大小．（用含α的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）①60°；②60°；（2）∠BFE =α．

【解析】

（1）①先證明△ACE≌△CBD得到∠ACE=∠CBD，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠CBD+∠BCF；②先證明△ACE≌△CBD得∠ACE=∠CBD=∠DCF，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA；

（2）證明△AEC≌△CDB得到∠E=∠D，則∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．

（1）如圖①中，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，

∵AE=CD，

∴△ACE≌△CBD，

∴∠ACE=∠CBD，

∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．

故答案為60．

（2）如圖②中，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，

∴∠CAE=∠BCD=′120°

∵AE=CD，

∴△ACE≌△CBD，

∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，

∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．

故答案為60．

（3）如圖③中，

∵點O是AC邊的垂直平分線與BC的交點，

∴OC=OA，

∴∠EAC=∠DCB=α，

∵AC=BC，AE=CD，

∴△AEC≌△CDB，

∴∠E=∠D，

∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．