Question

【題目】如圖1，AB、CD是圓O的兩條弦，交點為P.連接AD、BC. OM⊥ AD，ON⊥BC，垂足分別為M、N.連接PM、PN.

圖1 圖2

（1）求證：△ADP ∽△CBP；

（2）當AB⊥CD時，探究PMO與PNO的數量關系，并說明理由；

（3）當AB⊥CD時，如圖2，AD=8,BC=6, ∠MON=120°，求四邊形PMON的面積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）PMO=PNO，理由見解析；（3）S平行四邊形PMON=6

【解析】

（1）利用同弧所對的圓周角相等即可證明相似,（2）由OM⊥ AD，ON⊥BC得到M、N為AB、CD的中點，再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可解題,（3）由三角形中位線性質得∠QBC=90°,進而證明∠QCB=∠PBD,得到四邊形MONP為平行四邊形即可解題.

（1）因為同弧所對的圓周角相等，所以∠A=∠C, ∠D=∠B,所以△ADP∽△CBP.

（2）PMO=PNO

因為OM⊥ AD，ON⊥BC，

所以點M、N為AB、CD的中點，

又AB⊥CD，

所以PM=AD,PN=BC，

所以，∠A=∠APM，∠C=∠CPN，

所以∠AMP=∠CNP,得到PMO與PNO.

（3）連接CO并延長交圓O于點Q，連接BD.

因為AB⊥CD，AM=AD,CN=BC，

所以PM=AD,PN=BC.

由三角形中位線性質得，ON=.

因為CQ為圓O直徑，所以∠QBC=90°，

則∠Q+∠QCB=90°，

由∠DPB=90°，得∠PDB+∠PBD=90°，而∠PDB=∠Q，

所以∠QCB=∠PBD,所以BQ=AD，

所以PM=ON.

同理可得，PN=OM.所以四邊形MONP為平行四邊形.

S平行四邊形PMON=6