Question

（2013•上海）如圖，在平面直角坐標系xOy中，頂點為M的拋物線y=ax²+bx（a＞0），經過點A和x軸正半軸上的點B，AO=OB=2，∠AOB=120°．
（1）求這條拋物線的表達式；
（2）連接OM，求∠AOM的大小；
（3）如果點C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點C的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A點坐標，以及B點坐標，進而利用待定系數法求二次函數解析式；
（2）根據（1）中解析式求出M點坐標，再利用銳角三角函數關系求出∠FOM=30°，進而得出答案；
（3）分別根據當△ABC₁∽△AOM以及當△C₂BA∽△AOM時，利用相似三角形的性質求出C點坐標即可．

解答：解：（1）過點A作AE⊥y軸于點E，
∵AO=OB=2，∠AOB=120°，
∴∠AOE=30°，
∴OE=

3

，AE=1，
∴A點坐標為：（-1，

3

），B點坐標為：（2，0），
將兩點代入y=ax²+bx得：

a-b= 3 4a+2b=0

，
解得：

a= 3 3 b=- 2 3 3

，
∴拋物線的表達式為：y=

3

3

x²-

2 3

3

x；


（2）過點M作MF⊥OB于點F，
∵y=

3

3

x²-

2 3

3

x=

3

3

（x²-2x）=

3

3

（x²-2x+1-1）=

3

3

（x-1）²-

3

3

，
∴M點坐標為：（1，-

3

3

），
∴tan∠FOM=

3 3

1

=

3

3

，
∴∠FOM=30°，
∴∠AOM=30°+120°=150°；

（3）當點C在x軸負半軸上時，則∠BAC=150°，而∠ABC=30°，此時∠C=0°，故此種情況不存在；
當點C在x軸正半軸上時，
∵AO=OB=2，∠AOB=120°，
∴∠ABO=∠OAB=30°，
∴AB=2EO=2

3

，
當△ABC₁∽△AOM，
∴

AO

AB

=

MO

BC1

，
∵MO=

FO2+FM2

=

2 3

3

，
∴

2

2 3

=

2 3 3

BC1

，
解得：BC₁=2，∴OC₁=4，
∴C₁的坐標為：（4，0）；
當△C₂BA∽△AOM，
∴

BC2

AO

=

AB

MO

，
∴

BC2

2

=

2 3

2 3 3

，
解得：BC₂=6，∴OC₂=8，
∴C₂的坐標為：（8，0）．
綜上所述，△ABC與△AOM相似時，點C的坐標為：（4，0）或（8，0）．

點評：此題主要考查了銳角三角函數的應用以及待定系數法求二次函數解析式和相似三角形的性質等知識，利用分類討論思想以及數形結合得出是解題關鍵．