Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，D為OA半徑的中點，過D作CD⊥OA交弦AB于點E，交⊙O于點F，且CE=CB．

（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）連接AF,BF，求∠ABF的度數；
（3）如果BE=10，sinA= ，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OB

∵OB=OA，CE=CB，

∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC

又∵CD⊥OA

∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°

∴∠OBA+∠ABC=90°

∴OB⊥BC

∴BC是⊙O的切線

（2）解：連接OF，AF，BF，

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴AF=OF，

∵OA=OF，

∴△OAF是等邊三角形，

∴∠AOF=60°

∴∠ABF= ∠AOF=30°

（3）解：連接OF，AF，

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴AF=OF=OA，

過點O作OG⊥AB于點G，得到AG=BG，

在Rt△AOG中，sinA= = ，

設DE=5x，則AE=13x，AD=12x，AO=24x，

∵BE=10，∴AB=10+13x．

則AG= AB=5+ x，

又∵直角△AOG中，sin∠BAO= ，則 = ，

則 =

解得x= ，

∴AO=24x= ．

【解析】（1）根據等邊對等角，得到∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC，又CD⊥OA，由角的和差得到OB⊥BC，根據切線的判定方法得出BC是⊙O的切線；（2）根據垂直平分線定理，得到AF=OF，又OA=OF，得到△OAF是等邊三角形，∠AOF=60°，所以∠ABF= ∠AOF=30°；（3）由DA=DO，CD⊥OA，得到AF=OF=OA，過點O作OG⊥AB于點G，得到AG=BG，在Rt△AOG中，sinA= ，由BE=10，得到AG= AB，又直角△AOG中，sin∠BAO= ，則 = ，求出AO的值．