Question

已知a、b、c是△ABC的三條邊長，若x=-1為關于x的一元二次方程（c-b）x²-2（b-a）x+（a-b）=0的根．
（1）△ABC是等腰三角形嗎？△ABC是等邊三角形嗎？請寫出你的結論并證明；
（2）若代數式子有意義，且b為方程y²-8y+15=0的根，求△ABC的周長．

Answer 1

解：
（1）△ABC是等腰三角形，△ABC不是等邊三角形；
理由如下：
∵x=-1為方程（c-b）x²-2（b-a）x+（a-b）=0的根，
∴（c-b）+2（b-a）+（a-b）=0，
∴c=a，
∵a、b、c是△ABC的三條邊長
∴△ABC為等腰三角形，
∵c-b≠0，
∴c≠b，
∴△ABC不是等邊三角形；

（2）依題意，得，
∴a=2，
∴c=a=2，
解方程y²-8y+15=0得y₁=3，y₂=5；
∵b為方程y²-8y+15=0的根，且b＜a+c，
∴b的值為3，
∴△ABC的周長為7．
分析：（1）根據方程的解的定義把x=-1代入方程（c-b）x²-2（b-a）x+（a-b）=0，可得c=a，根據一元二次方程的定義可知c≠b，所以△ABC不是等邊三角形是等腰三角形；
（2）根據二次根式的意義可知，，所以a=2，所以c=a=2，解方程y²-8y+15=0，結合b＜a+c可求得b=3，所以△ABC的周長為7．
點評：主要考查了一元二次方程解的定義，等腰三角形的判定和二次根式的意義；要會利用方程的解和幾何圖形結合起來，利用數形結合的思想進行解題．