Question

如圖①，在等腰直角三角板ABC中，斜邊BC為2個單位長度，現把這塊三角板在平面直角坐標系xOy中滑動，并使B、C兩點始終分別位于y軸、x軸的正半軸上，直角頂點A與原點O位于BC兩側．
（1）取BC中點D，問OD+DA是否發生改變，若會，說明理由；若不會，求出OD+DA；
（2）你認為OA的長度是否會發生變化？若變化，那么OA最長是多少？OA最長時四邊形OBAC是怎樣的四邊形？并說明理由；
（3）填空：當OA最長時A的坐標（

2

，

2

），直線OA的解析式

y=x

．

Answer 1

分析：（1）根據直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得到OD=

1

2

BC=2×

1

2

=1，則不隨三角板的移動而改變，因而OD+DA不會改變；
（2）根據兩點之間線段最短，即可得到當O、D、A三點在一直線上時，OA最長，即可求解；
（3）當O、D、A三點在一直線上時，OA最長，且此時OA是第一象限的角平分線，據此即可求解．

解答：解：（1）OD=

1

2

BC=2×

1

2

=1，則OD+DA=2．

（2）∵OD=DA=1始終不變，
∴當O、D、A三點在一直線上時，OA最長等于2．
這時，四邊形OBAC的對角線相交于點D，有DO=DB=DA=DC=1，OA=BC=2，
∵四邊形OBAC是矩形，
又∵AB=AC，
∴四邊形OBAC是正方形．

（3）A（

2

，

2

）  
直線OA是∠BOC的角平分線，則解析式是：y=x．

點評：本題主要考查了直角三角形的性質：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，正確理解OD的長度不變是解題的關鍵．