Question

如圖甲，在等腰直角三角形OAB中，∠OAB=90°，B點在第一象限，A點坐標為（1，0）．△OCD與△OAB關于y軸對稱．
（1）求經過D，O，B三點的拋物線的解析式；
（2）若將△OAB向上平移k（k＞0）個單位至△O′A′B（如圖乙），則經過D，O，B′三點的拋物線的對稱軸在y軸的

 

．（填“左側”或“右側”）
（3）在（2）的條件下，設過D，O，B′三點的拋物線的對稱軸為直線x=m．求當k為何值時，|m|=

1

3

．

Answer 1

分析：（1）依題意設所求拋物線的解析式為y=ax²．把點B代入解析式求出拋物線的表達式．
（2）結合圖形解答．△OAB≌△OCD，當將其上移，經過D，O，B′三點的拋物線的對稱軸顯然在y軸左側
（3）設出拋物線解析式，將D和和B′點坐標代入，得出拋物線系數與k的關系，再由m的取值，求得k．

解答：解：（1）由題意可知：經過D，O，B三點的拋物線的頂點是原點，
故可設所求拋物線的解析式為y=ax²．
∵OA=AB，
∴B點坐標為（1，1）．（1分）
∵B（1，1）在拋物線上，
∴1=a×1²，a=1，（1分）
∴經過D，O，B三點的拋物線解析式是y=x²．（1分）

（2）把△OAB上移，由圖可知經過D，O，B′三點的拋物線的對稱軸顯然在y軸左側．（1分）

（3）由題意得：點B′的坐標為（1，1+k），（1分）
因為拋物線過原點，
故可設拋物線解析式為y=a₁x²+b₁x，
∵拋物線經過點D（-1，1）和點B′（1，1+k），
∴

1=a1-b1 1+k=a1+b1

．
得a₁=

k+2

2

，b₁=

k

2

．（2分）
∵拋物線對稱軸必在y軸的左側，
∴m＜0，而|m|=

1

3

，
∴m=-

1

3

∴-

k 2

2× k+2 2

=-

1

3

，
∴k=4（2分）
即當k=4時，|m|=

1

3

．（1分）

點評：本題考查的是二次函數的綜合運用以及利用待定系數法求出函數解析式，難度中上．